1.4.1. Методики расчета деформаций и усилий в панелях

Особенность расчета трехслойных конструкций заключается в необходимости учета деформаций сдвига среднего слоя. В связи с этим расчет таких конструкций оказывается значительно сложнее, чем расчет однородных пластин. Для трехслойных панелей оказывается неприемлемой гипотеза Кирхгоффа-Лява о прямой нормали, которая обычно используется при расчете однослойных пластин и оболочек. Использование точных методов теории упругости приводит к громоздким выкладкам, поэтому приходится прибегать к различным допущениям, позволяющим значительно упростить решение задачи, не внося при этом существенной погрешности в результат.

Общая теория расчета трехслойных пластин и оболочек с конструкционным средним слоем разработана в трудах А. Я. Александрова [9, 10], Л. Э. Брюккера [11–13], А. П. Прусакова [14], Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова [15, 16], Э. И. Григолюка и Ф. А. Когана [17], Л. М. Куршина [18].

Конкретные вопросы изгиба, продольного сжатия и сдвига однопролетных трехслойных пластин и балок с плоскими обшивками симметричного и несимметричного сечения исследованы в ряде работ отечественных и зарубежных ученых [12, 19–21]. Многопролетные трехслойные балки с легким (не воспринимающим нормальных усилий) средним слоем и плоскими обшивками, изгибная жесткость которых близка к нулю, впервые рассмотрены А. П. Прусаковым [22]. Эта же задача исследована в работе К. Штамма и Х. Витте [21]. Получены зависимости для определения прогибов, сдвигающих усилий в среднем слое и нормальных напряжений в обшивках работающих на изгиб многослойных балок с плоскими обшивками.

Подробные исследования трехслойных панелей, которые применялись для строительства в СССР, были выполнены в ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. В разные периоды в них принимали участие А. И. Брусиловский, А. Б. Губенко, А. М. Чистяков, Ф. В. Расс, С. Б. Ермолов, О. Б. Тюзнева, К. В. Панферов, И. Г. Романенко, В. В. Гурин, И. Л. Бихневич, Л. В. Суровова, Ю. Н. Потапов, В. М. Бобряшов и др. Результаты этих работ легли в основу «Рекомендаций по проектированию и расчету строительных конструкций с применением пластмасс» [23] и «Рекомендаций по расчету трехслойных панелей с металлическими обшивками и заполнителем из пенопласта» [4].

Для расчета трехслойных панелей наибольший интерес представляют «Рекомендации по расчету трехслойных панелей с металлическими обшивками и заполнителем из пенопласта» [4], так как в основу этой работы положены дифференциальные уравнения, позволяющие учесть изгибную жесткость обшивок. Но, в силу принятых упрощений, «Рекомендации» [4] пригодны только для расчета панелей с обшивками малой изгибной жесткости (с низким гофром, плоскими или мелкопрофилированными). Используемая в настоящее время методика расчета трехслойных панелей с плоскими обшивками [5], основана на тех же дифференциальных уравнениях, и дает те же результаты, что и методика [4].

Дифференциальные уравнения, описывающие работу трехслойных панелей с профилированными обшивками большой изгибной жесткости, получены Р. М. Новиковым [24], К. Штаммом и Х. Витте [21]. Ими же выведены формулы для определения прогибов и усилий в однопролетных панелях с различными вариантами закрепления на опорах. Работу многопролетных панелей они не рассматривали.

На основе дифференциальных уравнений, полученных Р. М. Новиковым [24], Ф. Ф. Тамплоном [6, 25] были получены формулы для определения усилий и прогибов в многопролетных панелях под действием равномерно распределенной нагрузки и перепада температур между обшивками. Однако, при получении этих формул были приняты упрощения, значительно повлиявшие на точность расчета панелей при действии на них перепада температур между обшивками.

Методика для определения прогибов и усилий в панелях с профилированными обшивками, не имеющая этого недостатка, была разработана авторами [26].

Основные формулы для расчета панелей по методикам [5, 26] приведены в таблице 1.1. В таблице 1.2 приведены результаты расчетов панелей с профилированными обшивками по методикам [5, 26]. Расчетные схемы для тестовых расчетов указаны в таблице 1.3. Геометрические параметры поперечного сечения приняты как для панелей с наружными профилированными обшивками с h = 42,5 мм (см. рисунок 1.1). Обшивки приняты стальными толщиной 0.5 мм. Модуль сдвига среднего слоя принят равным 5.0 МПа.

Как видно из таблицы 1.2, несовпадение напряжений в обшивках и среднем слое панелей, полученных по методикам [5] и [26], значительно и может доходить до 60%. Кроме того, применимость данных методик существенно ограничивается принятыми в них допущениями:

  • плоские обшивки панели (обшивки с малой изгибной жесткостью) воспринимают только нормальные усилия; профилированные обшивки панели имеют значительную изгибную жесткость и воспринимают как нормальные, так и сдвигающие усилия;
  • средний слой панели воспринимает только усилия сдвига;
  • напряжения сдвига в среднем слое постоянны по высоте поперечного сечения панели;
  • поперечное сечение панели несжимаемо (величины вертикальных смещений наружной и внутренней обшивок совпадают).

Приведенные допущения впервые были введены Э. Рейсснером [27], получившим ряд простых решений задач устойчивости пластин и оболочек. Эти допущения повсеместно использовались в дальнейшем. Границы применимости этих допущений подробно исследованы А. П. Прусаковым [28], Л. Э. Брюккером [12], Д. Джерардом [29].

Таблица 1.1. – Формулы для расчета трехслойных панелей по методикам [5] и [26]

Панель с плоскими обшивками под действием силовой равномерно распределенной нагрузки q

Методика расчета [5] и [26] [5] и [26] [5] и [26]
Число пролетов 1 2 3
Реакция крайней опоры qL/2qL/2 qL2(114(1+k))\frac{qL}{2}(1-\frac{1}{4(1+k)}) qL2(115+2k)\frac{qL}{2}(1-\frac{1}{5+2k})
Реакция промежуточной опоры qL2(1+14(1+k))\frac{qL}{2}(1+\frac{1}{4(1+k)}) qL2(1+12(5+2k))\frac{qL}{2}(1+\frac{1}{2(5+2k)})
Изгибающий момент в крайнем пролете qL2/8qL^2/8 qL28(114(1+k))2\frac{qL^2}{8}(1-\frac{1}{4(1+k)})^2 qL28(115+2k))2\frac{qL^2}{8}(1-\frac{1}{5+2k)})^2
Изгибающий момент на промежуточной опоре qL2811+k-\frac{qL^2}{8}\frac{1}{1+k} qL210+4k-\frac{qL^2}{10+4k}
Максимальный прогиб 5qL4384Bs(1+3,2k)\frac{5qL^4}{384B_s}(1+3,2k) qL448Bs0,26+2,6k+2k21+k\frac{qL^4}{48B_s}\frac{0,26+2,6k+2k^2}{1+k} qL424Bs0,83+5,6k+2k25+2k\frac{qL^4}{24B_s}\frac{0,83+5,6k+2k^2}{5+2k}

Панель с плоскими обшивками под действием перепада температур между обшивками. Температура наружной обшивки T1, внутренней – T2

Методика расчета [5] и [26] [5] и [26] [5] и [26]
Число пролетов 1 2 3
Реакция крайней опоры 0 3BsΘ2L11+k-\frac{3B_s\Theta}{2L} \frac{1}{1+k} 6BsΘL15+2k-\frac{6B_s\Theta}{L} \frac{1}{5+2k}
Реакция средней опоры 3BsΘ2L11+k\frac{3B_s\Theta}{2L} \frac{1}{1+k} 6BsΘL15+2k\frac{6B_s\Theta}{L} \frac{1}{5+2k}
Изгибающий момент в крайнем пролете 0 3BsΘ411+k-\frac{3B_s\Theta}{4} \frac{1}{1+k} 3BsΘ15+2k-3B_s\Theta \frac{1}{5+2k}
Изгибающий момент на средней опоре 3BsΘ211+k-\frac{3B_s\Theta}{2} \frac{1}{1+k} 6BsΘ15+2k-6B_s\Theta \frac{1}{5+2k}
Максимальный прогиб ΘL28\frac{\Theta L^2}{8} ΘL2321,1+4k1+k\frac{\Theta L^2}{32} \frac{1,1+4k}{1+k} ΘL241,06+k5+2k\frac{\Theta L^2}{4} \frac{1,06+k}{5+2k}

Панель с одной профилированной обшивкой под действием силовой равномерно распределенной нагрузки q. Однопролетная расчетная схема

Методика расчета [5] [26]
Реакция крайней опоры qL/2qL/2 qL1+α(12+sinhλ2λcoshλ2)\frac{qL}{1+\alpha} (\frac{1}{2}+\frac{sinh \frac{\lambda}{2}}{\lambda cosh \frac{\lambda}{2}})
Изгибающий момент в обшивке qL28BF1BF1+BS/(1+3,2k)\frac{qL^2}{8} \frac{B_{F1}}{B_{F1}+B_S/(1+3,2k)} qL21+α(18coshλ21λ2coshλ2)\frac{qL^2}{1+\alpha} (\frac{1}{8}-\frac{cosh \frac{\lambda}{2}-1}{\lambda^2 cosh \frac{\lambda}{2}})
Изгибающий момент в панели qL28(1BF1BF1+BS/(1+3,2k))\frac{qL^2}{8} (1-\frac{B_{F1}}{B_{F1}+B_S/(1+3,2k)}) qL2α1+α(18+coshλ21αλ2coshλ2)\frac{qL^2 \alpha}{1+\alpha} (\frac{1}{8}+\frac{cosh \frac{\lambda}{2}-1}{\alpha \lambda^2 cosh \frac{\lambda}{2}})
Максимальный прогиб 5qL4(1+3,2k)384BS(1BF1BF1+BS/(1+3,2k))\frac{5 q L^4 (1+3,2k)}{384 B_S} (1-\frac{B_{F1}}{B_{F1}+B_S/(1+3,2k)}) qL4BD+BS(5384+18αλ2coshλ21αλ4coshλ2)\frac{qL^4}{B_D+B_S} (\frac{5}{384}+\frac{1}{8 \alpha \lambda^2}-\frac{cosh\frac{\lambda}{2}-1}{\alpha \lambda^4 cosh \frac{\lambda}{2}})

Панель с одной профилированной обшивкой под действием перепада температур между обшивками. Температура наружной обшивки T1, внутренней – T2. Однопролетная расчетная схема

Методика расчета [5] [26]
Реакция крайней опоры 0 ΘBSβλLsinhλ2coshλ2-\frac{\Theta B_S}{\beta\lambda L} \frac{sinh \lambda}{2 cosh \frac{\lambda}{2}}
Изгибающий момент в обшивке BF1Θ(1BF1BF1BS/(1+2,67k))-B_{F1} \Theta (1-\frac{B_{F1}}{B_{F1}-B_S/(1+2,67k)}) αΘBS1+α-\frac{\alpha \Theta B_S}{1+\alpha}
Изгибающий момент в панели BF1Θ(1BF1BF1BS/(1+2,67k))B_{F1} \Theta (1-\frac{B_{F1}}{B_{F1}-B_S/(1+2,67k)}) αΘBS1+α\frac{\alpha \Theta B_S}{1+\alpha}
Максимальный прогиб ΘL28(1BF1BF1BS/(1+2,67k))\frac{\Theta L^2}{8} (1-\frac{B_{F1}}{B_{F1}-B_S/(1+2,67k)}) ΘL2811+α(18λ2)\frac{\Theta L^2}{8} \frac{1}{1+\alpha} (1-\frac{8}{\lambda^2})

Примечание – BS=EF1AF1EF2AF2e2EF1AF1+EF2AF2B_S=\frac{E_{F1} A_{F1} E_{F2} A_{F2} e^2}{E_{F1} A_{F1}+E_{F2} A_{F2}}; k=3BSL2GCACk=\frac{3B_S}{L^2 G_C A_C}; α=BDBS\alpha=\frac{B_D}{B_S}; Θ=α2T2α1T1e\Theta=\frac{\alpha_2 T_2-\alpha_1 T_1}{e}; β=BSACGCL2\beta=\frac{B_S}{A_C G_C L^2}; λ=1+ααβ\lambda=\sqrt{\frac{1+\alpha}{\alpha \beta}}; BF1=EF1IF1B_{F1}=E_{F1} I_{F1}; BF2=EF2IF2B_{F2}=E_{F2} I_{F2}; BD=BF1+BF2B_D=B_{F1}+B_{F2}; LL – пролет; EF1E_{F1}, EF2E_{F2} – модули упругости материалов соответственно наружной и внутренней обшивок; AF1A_{F1}, AF2A_{F2} – площади поперечных сечений соответственно наружной и внутренней обшивок; α1\alpha_1, α2\alpha_2 – величины коэффициентов продольного температурного расширения материалов соответственно наружной и внутренней обшивок; ee – расстояние между центрами тяжести обшивок; GCG_C – модуль сдвига материала среднего слоя; ACA_C – площадь поперечного сечения среднего слоя.

Таблица 1.2. – Сравнение результатов расчетов трехслойных панелей с профилированными обшивками по методикам [5] и [26]

Расчетная схема по таблице 1.3 Прогиб, мм Нормальные напряжения в в верхней полке профиля наружной обшивки, МПа Нормальные напряжения в в нижней полке профиля наружной обшивки, МПа Нормальные напряжения во внутренней обшивке, МПа Касательные напряжения в среднем слое, кПа
Расчет выполнен по методике [5]
1 3,5 -39,9 -10,1 20,5 13,6
2 2,9 73,8 -29,8 14,3 16,0
3 12,3 -73,7 21,8 0,0 0,0
4 5,8 217,1 93,6 -147,9 24,7
Расчет выполнен по методике [26]
1 3,3 -37,8 -9,1 19,1 11,3
2 2,3 98,8 -18,7 11,9 9,9
3 11,4 -66,8 25,4 -4,9 12,1
4 4,9 257,8 98,8 -137,7 35,7

Таблица 1.3. – Расчетные схемы панелей для тестовых расчетов

Силовая равномерно распределенная нагрузка на панель q = 1 кПа Температурный перепад между обшивками v = 100˚C
1 t-1-3-1.png 3 t-1-3-3.png
2 t-1-3-2.png 4 t-1-3-4.png

В соответствии с [30], существующие методики [2–6, 26] применимы только в случае одновременного выполнения следующих условий:

(1.1) dCa1+a2b20,15\frac{d_C}{a} \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}} \leq 0,15

(1.2) 0,012tF,maxdC0,30,01 \leq \frac{2t_{F,max}}{d_C} \leq 0,3

(1.3) 0,001ECdC2EFtF,max10,001 \leq \frac{E_C d_C}{2 E_F t_{F,max}} \leq 1

(1.4) 0,4tF,mintF,max10,4 \leq \frac{t_{F,min}}{t_{F,max}} \leq 1

где

aa, bb, a>ba > b – длина и ширина конструкции.

В настоящее время в Республике Беларусь выпускаются трехслойные панели, имеющие такие параметры:

  • обшивки панелей выполнены из стали с модулем упругости материала обшивок EF=2,05×105E_F=2,05 \times 10^5 МПа;
  • толщины обшивок tF,mint_{F,min}, tF,maxt_{F,max} могут изменяться в пределах от 0,5 до 0,6 мм;
  • толщина среднего слоя панели dCd_C приблизительно равна толщине панели и изменяется в пределах от 50 до 250 мм;
  • модуль упругости среднего слоя панелей ECE_C, по результатам выполненных испытаний, изменяется в пределах от 2,2 до 10,9 МПа.

Неравенство (1.1) выполняется всегда при b > 1 м.

Неравенство (1.2) выполняется только при толщине среднего слоя dc ≤ 100 мм.

Неравенство (1.3) при EC=2,2E_C=2,2 МПа, dC=50d_C=50 мм, tF,max=0,5t_{F,max}=0,5 мм выполняется, но выражение ECdC2EFtF,max=0,001\frac{E_C d_C}{2 E_F t_{F,max}}=0,001 принимает минимальное допустимое значение.

Неравенство (1.4) для панелей с плоскими и мелкопрофилированными обшивками выполняется всегда.

Таким образом, существующие методики [4–6, 26] могут применяться только для расчета трехслойных панелей небольшой толщины (до 100 мм).

Кроме того, указанные выше допущения существующих методик расчета соответствуют теории расчета трехслойных конструкций с так называемым «мягким» заполнителем по [31]. В соответствии с [31], мягким можно считать такой слой многослойной конструкции, который воспринимает только сдвигающие напряжения в плоскостях, перпендикулярных плоскости многослойной конструкции. Если же в напряженном состоянии слоя, кроме указанных сдвигающих напряжений, также играют роль и нормальные напряжения, данный слой должен считаться не мягким, а трансверсально мягким. Тогда, в среднем слое, кроме учитываемых существующими методиками расчета трехслойных панелей касательных напряжений, в окрестности точек приложения сосредоточенных сил и вблизи опорных закреплений будут возникать не учитываемые существующими методиками расчета нормальные напряжения, направленные перпендикулярно плоскости многослойной конструкции.

Критерий жесткости материала среднего слоя по отношению к материалу обшивок, и, следовательно, необходимости учета нормальных напряжений в среднем слое при расчете трехслойных панелей выражается согласно [31] неравенством

(1.5) η4ϕ>δ\frac{\eta^4}{\phi} > \delta

где

η\eta – величина одного порядка с величиной tF/Bt_F/B;

ϕ=EC/EF\phi=E_C/E_F;

δ\delta – малое число, погрешность вычислений, принимается меньше единицы.

В случае выполнения указанного неравенства, необходимо выполнять расчет среднего слоя не только на действие касательных, но также и на действие нормальных напряжений.

Для современных панелей, величина ϕ\phi имеет порядок 10510^{-5}, а η\eta10110^{-1}. Тогда , что больше единицы. Таким образом, трактовка среднего слоя выпускаемых в настоящее время панелей как мягкого представляется спорной, и, следовательно, необходимо выполнить исследование напряженно-деформированного состояния среднего слоя панелей в опорных зонах.

Все существующие инженерные методики расчета трехслойных панелей имеют существенные ограничения по расчетным схемам:

  • внешние нагрузки могут быть только двух видов – силовая равномерно распределенная по всей длине панели и температурная с одинаковым перепадом на наружной и внутренней обшивках (перепад температур по всей длине панели одинаков);
  • расчетная схема панели только равнопролетная (один, два или три пролета);
  • крепление панели к несущим конструкциям жесткое из плоскости и допускает свободные деформации в плоскости панели.

Указанные выше ограничения не позволяют производить статический расчет конструкций по более сложным расчетным схемам (отличающиеся длины пролетов; нежесткое крепление панелей к ветровым ригелям, колоннам, стропильным конструкциям и др.) с учетом требований [1, 2, 3] по приложению нормируемых нагрузок (линейное изменение нагрузки в зоне расположения снеговых мешков для панелей покрытия или ветровой нагрузки по высоте для стеновых панелей; наличие силовой нагрузки не во всех пролетах; приложение сосредоточенных сил; смещение опор конструкции из плоскости ограждения). При значительной длине панели (до 12 м) и наличии помещений с различным температурным режимом, для которых она является единой ограждающей конструкцией (например, холодильник и помещение для обслуживающего персонала) задача становится неразрешимой по существующим методикам.

Замена реальной расчетной схемы на расчетную схему, соответствующую требованиям существующих методик, может привести к существенным погрешностям в результатах расчета. Например, замена двухпролетной расчетной схемы с пролетами 3,0 м и 1,5 м на равнопролетную при расчете панели на температурное воздействие (перепад температур между обшивками) приводит к значительным (до 37%) искажениям расчетных величин напряжений в элементах панели (см. таблицу 1.4).

Таблица 1.4. – Влияние упрощений расчетной схемы на результаты расчета

Расчетная схема Нормальные напряжения в обшивках, полученные методом конечных элементов, МПа Касательные напряжения в среднем слое, полученные методом конечных элементов, кПа
table-1-4-1.png 110,1 36,8
table-1-4-2.png 138,0 23,1
table-1-4-3.png 78,5 26,2

Примечание – Расчет выполнен для панелей толщиной 100 мм с плоскими стальными обшивками толщиной 0,5 мм. Модуль сдвига среднего слоя был принят равным 5 МПа.

results matching ""

    No results matching ""