2.1. Конечноэлементные модели сэндвич панелей

Как правило, при расчете сэндвич панелей методом конечных элементов, создаются трехмерные конечноэлементные модели конструкций. В таком случае средний слой моделируется объемными, а обшивки – плоскими конечными элементами. Однако, при расчете конструкций на цилиндрический изгиб, могут также использоваться и плоские конечноэлементные модели.

Сэндвич панели могут моделироваться плоскими конечными элементами типа «балка-стенка».

Профилирование обшивок панелей, как правило, выполняется по трапециевидному профилю. При моделировании профилированных обшивок их сечение приводится к эквивалентному двутавровому, имеющему такие же площадь и момент инерции поперечного сечения. Крепление материала среднего слоя выполняется к внутренним граням плоских обшивок и к внутренним граням верхних и нижних полок приведенных двутавровых сечений профилированных обшивок. Эквивалентные сечения для наиболее распространенных профилей приведены на рисунках 2.1…2.3.

Учитывая крайне малую изгибную жесткость горизонтальных участков профилей обшивок при их толщине 0,5–0,6 мм, представляется возможным моделировать эти участки стержневыми конечными элементами, воспринимающими только продольные усилия растяжения-сжатия. При этом средний слой и вертикальные участки приведенных профилей обшивок моделируются конечными элементами типа «балка-стенка».

Эффективность применяемых конечноэлементных моделей можно оценить по следующим критериям:

  1. Хорошая сходимость и высокая точность расчетов.
  2. Минимальный объем вычислений.
  3. Простота построения конечноэлементных моделей.

fem-1

Геометрические параметры поперечного сечения панели:

BB – шаг профилирования обшивки панели;

b1b_1 – ширина верхней полки верхней (наружной) обшивки;

b2b_2 – ширина нижней полки верхней (наружной) обшивки;

DD – высота поперечного сечения панели;

h1h_1 – высота поперечного сечения верхней (наружной) обшивки;

t1t_1 – толщина верхней (наружной) обшивки;

t2t_2 – толщина нижней (внутренней) обшивки.

Геометрические параметры приведенного сечения панели:

bC=(Bb1b2)/2b_C=(B-b_1-b_2)/2; hn1=Dt1t2h_{n1}=D-t_1-t_2; hn2=Dh1t2h_{n2}=D-h_1-t_2; bcm=2t1/cosαb_{cm}=2t_1/cos \alpha;
α=arctanbCh1t1\alpha=arctan \frac{b_C}{h_1-t_1}; bn1=b1+0,75bC+0,25bChn2hn1b_{n1}=b_1+0,75b_C+0,25b_C \frac{h_{n2}}{h_{n1}};
bn2=b2+0,75bC+0,25bChn1hn2b_{n2}=b_2+0,75b_C+0,25b_C \frac{h_{n1}}{h_{n2}}; n=BT/Bn=B_T/B; BB — ширина панели.

Рисунок 2.1. – Фрагмент поперечного и приведенного сечений панели с наружной профилированной и внутренней плоской обшивками

fem-2

Геометрические параметры поперечного сечения панели:

BB – шаг профилирования обшивок панели;

b1Bb_{1B} – ширина верхней полки верхней (наружной) обшивки;

b2Bb_{2B} – ширина нижней полки верхней (наружной) обшивки;

b1Hb_{1H} – ширина нижней полки нижней (внутренней) обшивки;

b2Hb_{2H} – ширина верхней полки нижней (внутренней) обшивки;

DD – высота поперечного сечения панели;

h1h_1 – высота поперечного сечения верхней (наружной) обшивки;

h2h_2 – высота поперечного сечения нижней (внутренней) обшивки;

t1t_1 – толщина верхней (наружной) обшивки;

t2t_2 – толщина нижней (внутренней) обшивки.

Геометрические параметры приведенного сечения панели:

hn1=Dt1t2h_{n1}=D-t_1-t_2; hn2=Dh1h2h_{n2}=D-h_1-h_2; bCB=(Bb1Bb2B)/2b_{CB}=(B-b_{1B}-b_{2B})/2; bCH=(Bb1Hb2H)/2b_{CH}=(B-b_{1H}-b_{2H})/2;
bcmB=2t1/cosαBb_{cmB}=2t_1/cos \alpha_B; αB=arctanbCBh1t1\alpha_B=arctan \frac{b_{CB}}{h_1-t_1};
bcmH=2t2/cosαHb_cmH=2t_2/cos \alpha_H; αH=arctanbCHh2t2\alpha_H=arctan \frac{b_{CH}}{h_2-t_2};
bn1=(b1Bhn1+b1Hhn1+bCH(hn1bCB×ctgαB2)+bCH(hn1bCH×ctgαH2))/2hn1b_{n1}=(b_{1B}h_{n1}+b_{1H}h_{n1}+b_{CH}(h_{n1}-b_{CB} \times ctg \frac{\alpha_B}{2})+b_{CH}(h_{n1}-b_{CH} \times ctg \frac{\alpha_H}{2}))/2h_{n1};
bn2=(b1Bhn2+b1Hhn2+bCB(hn2+bCB×ctgαB2)+bCH(hn2bCH×ctgαH2))/2hn2b_{n2}=(b_{1B}h_{n2}+b_{1H}h_{n2}+b_{CB}(h_{n2}+b_{CB} \times ctg \frac{\alpha_B}{2})+b_{CH}(h_{n2}-b_{CH} \times ctg \frac{\alpha_H}{2}))/2h_{n2};
n=BT/Bn=B_T/B; BTB_T — ширина панели.

Рисунок 2.2. – Фрагмент поперечного и приведенного сечений панели с двумя профилированными обшивками

fem-3

Геометрические параметры поперечного сечения панели:

BB – шаг профилирования обшивки панели;

b1b_1 – ширина нижней полки нижней (внутренней) обшивки;

b2b_2 – ширина верхней полки нижней (внутренней) обшивки;

DD – высота поперечного сечения панели;

h2h_2 – высота поперечного сечения нижней (внутренней) обшивки;

t1t_1 – толщина верхней (наружной) обшивки;

t2t_2 – толщина нижней (внутренней) обшивки.

Геометрические параметры приведенного сечения панели:

bC=(Bb1b2)/2b_C=(B-b_1-b_2)/2; hn1=Dt1t2h_{n1}=D-t_1-t_2; hn2=Dh2t1h_{n2}=D-h_2-t_1; bcm=2t2/cosαb_{cm}=2t_2/cos \alpha;
α=arctanbCh2t2\alpha=arctan \frac{b_C}{h_2-t_2}; bn1=b1+0,75bC+0,25bChn2hn1b_{n1}=b_1+0,75b_C+0,25b_C \frac{h_{n2}}{h_{n1}};
bn2=b2+0,75bC+0,25bChn1hn2b_{n2}=b_2+0,75b_C+0,25b_C \frac{h_{n1}}{h_{n2}}; n=BT/Bn=B_T/B; BTB_T — ширина панели.

Рисунок 2.3. – Фрагмент поперечного и приведенного сечений панели с наружной плоской и внутренней профилированной обшивками

Хорошая сходимость расчетов определяется, в первую очередь, выбранными конечными элементами. В используемых программных комплексах могут встречаться конечные элементы, не имеющие сходимости (конечный элемент плиты Пшеменицкого, треугольник Зенкевича и др.), т. е. при сгущении сетки как будто бы имеется сходимость к какому-то решению, но это решение может отстоять очень далеко от точного. Для предлагаемых конечных элементов (плоский конечный элемент типа «балка-стенка» и стержневой конечный элемент, воспринимающий только продольные усилия) в литературе [61] приведены оценки порядка сходимости по перемещениям и напряжениям.

В качестве критерия точности результатов расчетов может быть принято число обусловленности матрицы жесткости системы a(K). Причина появления больших погрешностей при решении плохо обусловленных систем проиллюстрирована на рисунке 2.4 на примере системы линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными.

а) б) в)
fem-4-1 fem-4-2 fem-4-3

Рисунок 2.4. – Решение системы линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными при различных величинах a(K)

В работе [61] приведена оценка a(K), которая при равномерной сетке конечных элементов имеет вид:

(2.1)
a(K)=1/h2ma(K) = 1/h^{2m}

где

mm – порядок системы уравнений;

hh – максимальный размер конечных элементов.

Из оценки (2.1) видно, что лучше использовать более крупные конечные элементы, а заданную точность достигать за счет более высокого порядка аппроксимации.

Следует отметить, что на число обусловленности матрицы влияют и факторы, связанные с процессом интерполяции на элементе. Так, в работе [61] число обусловленности матрицы жесткости при решении плоской задачи теории упругости при линейной интерполяции на треугольнике оценивается как

(2.2)
a(K)1(sinamin)3h2a(K) \approx \frac{1}{(sin a_{min})^3} h^{-2},

где

amina_{min} – минимальный угол треугольника.

Из (2.2) видно, что при amin0a_{min} \rightarrow 0 число обусловленности неограниченно увеличивается. Для прямоугольных конечных элементов аналогом amina_{min} является отношение меньшей стороны элемента к большей.

Технически, ухудшение точности расчета при увеличении числа обусловленности матрицы жесткости системы объясняется потерей точности арифметических операций, производимых над числами с плавающей запятой при большой разнице порядков этих чисел. Примерами такой потери точности могут служить некоммутативность и неассоциативность арифметических операций, ноль в результате вычитания неравных чисел, и прочее.

Возникновение указанных ошибок характеризуется появлением на эпюрах напряжений необъяснимых скачков в местах приложения нагрузок и на опорах.

Для предупреждения такого рода погрешностей, необходимо:

  1. При назначении расчетной сетки отдавать предпочтение элементам, максимально приближенным к равносторонним.
  2. Сосредоточенные нагрузки приводить к распределенным по участку приложения нагрузкам (например, по ширине ригеля, к которому крепится панель). Фактически это приводит к замене нагрузки сравнительно большой величины, приложенной в одном узле, на несколько нагрузок меньшей величины, приложенных к группе узлов, что уменьшает разброс значений в векторе сил.

Эти рекомендации могут быть реализованы при использовании плоских конечноэлементных моделей благодаря их простоте. При использовании же трехмерных конечноэлементных моделей, в большинстве случаев, используется реализованная в программном комплексе автоматическая триангуляция. Практически все существующие методы автоматической триангуляции стремятся получить сетку с равносторонними конечными элементами, с равномерным сгущением в необходимых областях. Однако до сих пор удовлетворительных методов еще не создано [61].

Минимальный объем выполняемых вычислений определяется, в первую очередь, порядком решаемой системы уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа узлов в системе и от количества их степеней свободы. Очевидно, что с точки зрения минимизации объема вычислений двумерные схемы также предпочтительнее трехмерных.

results matching ""

    No results matching ""